Định nghĩa biến ngẫu nhiên và sự phân phối xác suất

1/ Giới thiệu về biến ngẫu nhiên

Trong xác suất thống kê, một biến ngẫu nhiên (stochastic variable, random variable) là một hàm toán học với đặc điểm: nó ánh xạ kết quả (output) của một thử nghiệm ngẫu nhiên (experiment) thành một giá trị số

Định nghĩa:

Một biến ngẫu nhiên là một hàm: X : Ω → R

Có thể hiểu một cách khác, với mỗi kết quả ω, ta gán một số thực X(ω).

Do định nghĩa của biến ngẫu nhiên, chúng ta có thể thực hiện nhiều phép toán khác nhau với biến ngẫu nhiên: cộng, trừ, nhân, chia,… Nhờ đó, ta có thể tạo ra các biến ngẫu nhiên mới từ các biến ngẫu nhiên ban đầu.

Ví dụ 1: Kết quả giải nhất trong bảng xsmn thứ 3 là một biến ngẫu nhiên với nhiều dãy số khác nhau có thể xuất hiện.

Ví dụ 2: Ném đồng xu (Sấp – S, Ngửa – N) 6 lần. Gọi X(ω) là số lần sấp khi kết quả ω = SSSNSN. Kết quả là X(ω) = 4.

Biến ngẫu nhiên có thể được phân thành hai loại: biến ngẫu nhiên rời rạc, biến ngẫu nhiên liên tục.

2. Phân phối xác suất

Phân phối xác suất là phương pháp để xác định cách biến ngẫu nhiên được phân bố. Có 2 cách để xác định phân phối này: dựa vào bảng phân phối xác suất và hàm phân phối xác suất. Ở đây, chúng ta chỉ tập trung vào phương pháp hàm phân phối xác suất. Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X được xác định như sau:

Hàm phân phối xác suất còn được gọi là hàm phân phối tích lũy (CDF – Cumulative Distribution Function) vì nó tính xác suất của tất cả các giá trị nhỏ hơn hoặc bằng một giá trị cụ thể x. Hàm này là một hàm không giảm, có nghĩa là nếu a < b, thì xác suất của sự kiện b cũng bao gồm xác suất của sự kiện a.

2.1 Hàm khối xác suất của biến rời rạc

Với biến ngẫu nhiên, chúng ta quan tâm đến xác suất của mỗi giá trị x trong miền giá trị của nó. Hàm xác suất như vậy đối với biến ngẫu nhiên rời rạc được gọi là hàm khối xác suất (PMF – Probability Mass Function). Giả sử miền xác định của X là D, tức là X:Ω↦D, thì hàm khối xác suất được xác định như sau:

Từ đó ta có thể thấy rằng hàm khối xác suất thực chất cũng là một hàm xác suất, nên nó có tất cả các tính chất của xác suất:

2.2 Hàm mật độ xác suất của biến liên tục

Với biến ngẫu nhiên liên tục, chúng ta sử dụng khái niệm hàm mật độ xác suất (PDF – Probability Density Function) để đo lường độ tập trung của xác suất tại một điểm xác định. Hàm mật độ xác suất f(x) tại điểm x được xác định bằng cách lấy đạo hàm của hàm phân phối tích lũy F(x) tại điểm đó:

Từ đó, nếu f(x) càng lớn, thì mức độ tập trung xác suất càng cao tại điểm đó. Ta cũng có thể biểu diễn hàm phân phối tích lũy như sau:

Xác suất trong một khoảng (α,β) cũng có thể được tính bằng hàm mật độ xác suất:

Hàm mật độ xác suất cũng có hai tính chất giống như xác suất:

Hiện nay, việc giảng dạy và nghiên cứu các vấn đề liên quan đến toán học rời rạc ngày càng được áp dụng rộng rãi và mạnh mẽ hơn nhờ vào sự phổ biến của máy tính tốc độ cao. Một ví dụ đơn giản là trong việc dự đoán kết quả xo so vung tau. Bảng kết quả bao gồm 9 giải từ giải 8 đến giải đặc biệt, mỗi giải được tạo thành từ các chữ số khác nhau. Từ đó, biến ngẫu nhiên tạo ra từ các giải này là khác nhau. Con người không thể tính toán tất cả các trường hợp của các giải này, nhưng máy tính có thể làm được. Điều này giúp chúng ta tìm ra các dãy số ngẫu nhiên nhanh chóng.

You might like

About the Author: suynghitichcuc2019